ökonomisches Prinzip
Restriktion als Ungleichung
Ausgangspunkt ist das Problem der Maximierung des Outputs $x(v_1,v_2)$(Produktionsfunktion) unter der Nebenbedingung einer gegebenen Kostensumme $c$, wobei dieNebenbedingung als Gleichung vorliegt.\begin{eqnarray*} &&x(v_1,v_2) \to \text{Max.}\\\text{u.d.NB.}\quad &&q_1v_1 + q_2v_2 = c \quad\text{Isokostengerade}\\ &&v_1, v_2\geq 0\end{eqnarray*}Grafische Darstellung der Lösung:
Lagrange-Ansatz\[ \cL(v_1,v_2,\lambda) = x(v_1, v_2) + \lambda (c - q_1v_1 - q_2v_2)\]Unbekannte: $v_1$, $v_2$, $\lambda=$ Lagrange-Multiplikator
Parameter: $q_1$, $q_2$, $y$ sind zunächst als Konstante zu behandeln.
Entscheidend: $\cL$ nimmt in Bezug auf $v_1$, $v_2$ das Maximum dort an, wo auch $x$ maximal ist (und umgekehrt).
- Bedingungen 1.Ordnung oder Lagrange-Bedingungen: partielle Ableitungen gleich Null setzen.
Damit erhält man ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 Variablen $v_1$, $v_2$ und $\lambda$. - Bedingungen 2.Ordnung (Min. oder Max.): hier nicht berücksichtigt!
Notwendige Bedingungen 1.Ordnung (3 Gleichungen, 3 Variablen)\begin{eqnarray*}\abl{\cL}{v_1} &\ =\ & \abl{x(v_1^*,v_2^*)}{v_1} - \lambda^* q_1 = 0\\\abl{\cL}{v_2} &\ =\ & \abl{x(v_1^*,v_2^*)}{v_2} - \lambda^* q_2 = 0\\\abl{\cL}{\lambda} &\ =\ & c - q_1v_1^* - q_2v_2^* = 0\quad\text{Nebenbedingung des Problems}\end{eqnarray*}Aus den beiden ersten Gleichungen lässt sich $\lambda^*$ eliminieren \[\frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{{\partial}x/{\partial}x_2}\ =\ \frac{q_1}{q_2} \quad\text{oder}\quad\frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{q_1}\ =\ \frac{{\partial}x/{\partial}v_2}{q_2}\ =\ \lambda^*\]Die Grenzproduktivitäten verhalten sich wie die Faktorpreise. Oder äquivalent,Gleichheit der Grenzerträge des Geldes $= \lambda^*$.
Also liegen 2 Gleichungen mit 2 Variablen (nämlich $v_1^*$ ,$v_2^*$) vor:\begin{eqnarray*}\text{Tangentialpunkt}\ \&&\text{GRS}\ =\ \frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{{\partial}x/{\partial}v_2}\ = -\ \frac{\d v_2}{\d v_1}\ =\ \frac{q_1}{q_2}.\\\text{auf der Isokostengeraden}\ \ &&c = q_1v_1^* + q_2v_2^*\end{eqnarray*}Aufgrund der Eigenschaften der Produktionsfunktion(siehe GRS) und der Kostengeraden (konstante Preise) liefert das Gleichungssystem
- die optimalen Verbrauchsmengen (Maximalproduktkombination) oder auch die Faktornachfragefunktionen \[ v_1^* = v_1^M(q_1,q_2,c) \quad\text{und}\quad v_2^* = v_2^M(q_1,q_2,c) \]
- den optimalen Wert des Lagrange-Multiplikators $\lambda^* = \lambda(q_1,q_2,y)$. (ökonomische Interpretation)
Setzt man die Maximalproduktkombination in die Zielfunktion ein, dann ergibtsich die indirekte Produktionsfunktionals Lösung des Problems.\[z(q_1,q_2,c)=q_1v_1^M(q_1,q_2,c)+q_2v_2^M(q_1,q_2,c)\]
Expansionspfad (Variation des Kostensumme)
